ጸገም፥ ደረት ጣውላ
Martingale ብ$10 ኣብ ጣውላ $500። ክንደይ ግዜ ይስበር፣ ምስ ተሰብረ ክንደይ የጥፍእ፣ ደረት ምልዓልከ ይሕግዝ ድዩ?
ተኸታታሊ ሽዱሽተ ስዕረታት ይሰብርዎ፥ ኣብ ነፍሲ ወከፍ ዑደት 1.8%፣ ኣስታት 60% ካብ ግዜ ጸወታ 100 ምዝዋራት። እቲ ስብረት $630 የኽፍል። ደረት ናብ $5,000 ምልዓል ነቲ ስብረት ሳሕቲ (ኣብ ነፍሲ ወከፍ ዑደት 0.25%) ዝዓበየ ድማ ($5,110) ይገብሮ። ዝጽበ ክሳራ ኣብ ነፍሲ ወከፍ ዝተወራረደ ዶላር ኣብ ዝኾነ ደረት 2.70% እዩ።
እቲ ጸገም
ሓደ ተጻዋታይ ኣብ ቀይሕውርርድቀይሕውርርድ ማዕረ ገንዘብ ኣብቶም 18 ቀይሕ ቁጽርታት። ብፈረንሳይኛ፥ rouge።ምሉኡ ኣንብቡ → $10 ይውራረድ፣ ድሕሪ ነፍሲ ወከፍ ስዕረት ይዕጽፍ፣ ድሕሪ ዓወት ድማ ናብ መጀመርታ ይምለስ። ዝለዓለ ደረት ጣውላ $500 እዩ። (a) ክንደይ ተኸታታሊ ስዕረታት ነቲ ስርዓት ምውሳኽ ውርርድሜላስርዓት ምውሳኽ ውርርድብመሰረት ዝሓለፉ ውጽኢታት መጠን ውርርድ ዝቕይር ዝኾነ ሕጊ። ኣሉታዊ ስርዓታት ድሕሪ ስዕረት የልዕልዎ፣ ኣወንታዊ ድሕሪ ዓወት።ምሉኡ ኣንብቡ → ይሰብርዎ? (b) ተኽእሎሒሳብተኽእሎዕድል ናይ ሓደ ውጽኢት፣ ካብ 0 ክሳብ 1 ወይ ካብ 0% ክሳብ 100%። ሓደ ቁጽሪ፥ 1/37 = 2.70%።ምሉኡ ኣንብቡ → ኣብ ነፍሲ ወከፍ ዑደት ክንደይ እዩ? (c) ኣብ ስብረት እንታይ ይጠፍእ? (d) ደረት $5,000 ነቶም መልስታት ብኸመይ ይቕይሮም? (e) ዝኾነ ደረት ነቲ ስርዓት ረብሓ ዘለዎ ይገብሮ ድዩ?
ፍታሓት (a)–(c)
መጠናት ውርርድ፥ 10፣ 20፣ 40፣ 80፣ 160፣ 320። እቲ ሻውዓይ 640 > 500 ምኾነ፣ ስለዚ ሽዱሽተ ስዕረታት ይሰብርዎ። (b) p(ስዕረት) = 19/37 ኣብ ቀይሕ፤ (19/37)⁶ = 0.0183፣ ኣስታት 1.8% ኣብ ነፍሲ ወከፍ ዑደት። ሓደ ዑደት ብማእከላይ ኣስታት ክልተ ምዝዋራት ይጸንሕ፣ ስለዚ ግዜ ጸወታ 100 ምዝዋራት ዳርጋ 50 ዑደታት ኣለዎ፣ p(እንተ ወሓደ ሓደ ስብረት) ≈ 1 − 0.9817⁵⁰ ≈ 60%። (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630፣ እዚ ድማ 63 መሰረታዊ ኣሃዱታትገንዘብኣሃዱስርዓት ወይ ተጻዋታይ ዝሰርሓሉ መሰረታዊ መጠን ውርርድ። ስርዓታት ምውሳኽ ውርርድ ኣብ ዝኾነ ጣውላ ክሰርሑ ምእንቲ ብኣሃዱ ይግለጹ።ምሉኡ ኣንብቡ → እዩ፣ ኣንጻር እቲ እቲ ዑደት ክዕወቶ ዝፍትን ዝነበረ $10።
ፍታሕ (d)
ኣብ $5,000፥ መጠናት ውርርድ ክሳብ 2,560 ይፍቀዱ፤ እቲ ዓስራይ መጠን ውርርድ፣ 5,120፣ ይንጸግ። ትሽዓተ ስዕረታት ይሰብርዎ፥ (19/37)⁹ ≈ 0.25% ኣብ ነፍሲ ወከፍ ዑደት፣ ኣስታት 11% ካብ ግዜ ጸወታ 100 ምዝዋራት። ክሳራ ኣብ ስብረት፥ 10 + 20 + … + 2,560 = $5,110። እቲ ተጻዋታይ ሳሕቲ ዘጋጥም ሓደጋ ብዋጋ ዝዓበየ ሓደጋ ዓዲጉ። ኣብ ብዙሓት ግዜ ጸወታ ዝጽበ ዋጋ ስብረታት p × ክሳራ ≈ 0.0183 × 630 = $11.5 ኣብ ነፍሲ ወከፍ ዑደት ኣብ ደረት $500፣ 0.0025 × 5,110 = $12.8 ድማ ኣብ $5,000 እዩ፤ ብምጥጋግ ሓደ ቁጽሪ እዩ፣ እዚ ድማ ዝጽበ ክሳራሒሳብዝጽበ ክሳራዝጽበ ዋጋ ብጠቕላላ ዝተወራረደ ገንዘብ ዝተባዝሐ፤ ኣብ ሓደ ግዜ ጸወታ ወይ ኣብ ሓደ እዋን ዝጠፍእ ማእከላይ መጠን።ምሉኡ ኣንብቡ → ናይቲ ዑደት ምስቲ እቶም ዝተዓወቱ ዑደታት ዝረኽብዎ $10 እዩ።
ፍታሕ (e)
ኣይገብሮን። ዝጽበ ክሳራ ኣብ ነፍሲ ወከፍ ዑደት = (ዝጽበ ጠቕላላ መጠን ውርርድ ኣብቲ ዑደት) / 37፣ ኣብ ዝኾነ ደረት፣ ምኽንያቱ ነፍሲ ወከፍ ውርርድ −1/37 ናይ ባዕሉ እዩ። እቲ ደረት እቲ ክሳራ ኣብ መንጎ ብዙሓት ንኣሽቱ ዓወታትን ውሑዳት ዓበይቲ ክሳራታትን ብኸመይ ከም ዝምቀል ጥራይ ይውስን። ብዘይ ደረትን ብዘይውዳእ ገንዘብ ጸወታገንዘብገንዘብ ጸወታንጸወታ ዝተፈልየ ጠቕላላ መጠን ገንዘብ። ምሕደራ ገንዘብ ጸወታ ማለት ካብኡ ክንደይ ኣብ ነፍሲ ወከፍ ውርርድን ግዜ ጸወታን ከም እትሕብሕቡ ምውሳን እዩ።ምሉኡ ኣንብቡ →ን እቲ ስርዓት «ምሰርሐ»፣ ፈጺሙ ስለ ዘይስበር፣ ግን ብዘይ ደረት ዝኾነ መጠን ምተወራረደ፣ ዝጽበ ክሳራኡ ድማ 2.70% ካብቲ ዘይድረት መጠን ምኾነ። MartingaleሜላMartingaleድሕሪ ነፍሲ ወከፍ ስዕረት ውርርድ ዘዕጽፍ ስርዓት ምውሳኽ ውርርድ። እንታይ ከም ዝገብርን ዘይገብርን ኣብ ክፍሊ ሜላታት ርኣዩ።ምሉኡ ኣንብቡ → ከይሰርሕ ዝኽልክሎ ደረት ጣውላጣውላደረት ጣውላዝተፈቕደ ዝተሓተን ዝለዓለን ውርርድ። እቲ ዝለዓለ እዩ ንስርዓታት ምዕጻፍ ደው ዘብሎም።ምሉኡ ኣንብቡ → ኣይኮነን። ሕሳብ እዩ።
ክልተ ሓቀኛ ጣውላታት
ኣብነት ቶርፕ ጣውላ $1 ምስ ዝለዓለ $1,000 እዩ፣ ኣብኡ ሓደ ተጻዋታይ ን ድራር $30 ዶላር ብዶላር ክዕወት ይጽበ። መጠናት ውርርድ 1፣ 2፣ 4 … 512 ዓሰርተ ውርርዳት የፍቕዱ፣ ስለዚ ተኸታታሊ ዓሰርተ ስዕረታት ነቲ ስርዓት ይሰብርዎ፥ ኣብ መንኮርኮር ኤውሮጳ ካብ 785 ዑደታት ሓንሳብ (ኣብ ናይ ኣመሪካ ካብ 613 ሓንሳብ)፣ ብዋጋ $1,023። ሰላሳ ዑደታት ኩሎም 96.2% ካብ ግዜ ይዕወቱ። እቲ ዝተረፈ 3.8% ኣስታት $1,000 የጥፍእ፣ ማእከላይ ውጽኢት ናይቲ ምሸት ድማ −$9.17 እዩ፣ እዚ ድማ ልክዕ 1/37 ካብቲ እቶም ሰላሳ ዑደታት ብማእከላይ ዝውራረድዎ $339 እዩ። ጣውላ $5 ምስ ዝለዓለ $2,000 ካብኡ ኣይፈልን፥ መጠናት ውርርድ ክሳብ $1,280 ትሽዓተ ውርርዳት የፍቕዱ፣ እቲ ስብረት ድማ ኣብ መንኮርኮር ኤውሮጳ ካብ 403 ዑደታት ሓንሳብ (ኣብ ናይ ኣመሪካ ካብ 323 ሓንሳብ) ይመጽእ $2,555 ድማ የኽፍል።
ሃብታም ተጻዋታይ
ነቲ ስርዓት ኣብ ክንዲ ትሑት ደረት ዓሚቝ ገንዘብ ጸወታ ሃብዎ፥ 1,000 ኣሃዱታት፣ መሰረት ሓደ ኣሃዱ ን 1,000 ምዝዋራት ኣብ ቀይሕ ን፣ እቲ ዝቕጽል ምዕጻፍ ካብቲ ዝተረፈ ምስ ዝበዝሕ ኩሉ ግዜ ካብ ሓደ ኣሃዱ ደጊሙ ዝጅምር። ሚልዮን ከምዚ ዝበሉ ምሸታት ብሲሙሌሽን ፈቲንና። ኣብ መንኮርኮር ኤውሮጳ 52% ብረብሓ ይዛዘሙ፣ 21% ኩሉ የጥፍኡ፣ ማእከላይ ውጽኢት ድማ −124 ኣሃዱታት እዩ። ኣብ ዋላ ሓደ ዜሮመንኮርኮርዜሮዝኾነ ውርርድ ማዕረ ገንዘብ፣ ደርዘን ወይ ዓምዲ ዘይሽፍኖ እቲ ሓደ ቀጠልያ ጁባ፤ ምንጪ ብልጫ ካዚኖ። ካልእ ስም፥ ሓደ ዜሮ፣ 0።ምሉኡ ኣንብቡ → ዘይብሉ ጸወታ እውን፣ ነፍሲ ወከፍ ውርርድ ፍትሓዊ ኣብ ዝኾነሉ፣ ኣስታት 60% ጥራይ ብረብሓ ምተዛዘሙ። እቲ ልሙድ ምሸት ንእሽቶ ዓወት እዩ፤ እቲ ማእከላይ ብእቶም ኣብ ዜሮ ዝውድኡ ምሸታት ይኽፈል።
እቲ ትምህርቲ
ካዚኖታት ደረት ዘቐምጡ ናይ ገዛእ ርእሶም ፍልልይሒሳብፍልልይውጽኢታት ኣብ ዙርያ ዝጽበ ዋጋ ክንደይ ሰፊሖም ከም ዝዝርግሑ ዝልክዕ። ንውርርድ ሓደ ቁጽሪ ልዑል፣ ንውርርዳት ማዕረ ገንዘብ ትሑት።ምሉኡ ኣንብቡ → ንምድራት እዩ፣ ስርዓታት ንምስዓር ኣይኮነን። Martingale ምስዓር ዝሕጎስሉ ጎናዊ ሳዕቤን እዩ፣ እቲ ሕሳብ ድማ ብዝኾነ መገዲ ምሰዓሮ። እቲ ደረት እዩ ጸገም ዝብል ተጻዋታይ ነቲ ጸድፊ ረኺቡ ከም ቁልቁለት ተጋግዩዎ ኣሎ።
ቀመር
ሕቶታት
ክሳብ ዝለዓለ ደረት ክትጸንሑ የኽእለኩም፣ ኣብኡ እቲ ስብረት ሳሕቲን ዝዓበየን እዩ። ዝጽበ ክሳራ ኣብ ነፍሲ ወከፍ ዶላር ኣይቕየርን።
መጠናት ውርርድ 10፣ 30፣ 70፣ 150፣ 310፥ ደረት $500 ድሕሪ ሓሙሽተ ስዕረታት ይብጻሕ፣ እቲ ስብረት ድማ $570 የኽፍል። እቲ ሓደ 2.70%።
ሓደ ተጻዋታይ ካብቲ ዕቋር ካዚኖ ብቐሊሉ ክኸፍሎ ዝኽእል ንላዕሊ ከይውራረድ። ምምሕዳር ፍልልይ።
ጸወታ ምስ ሒሳብ
መጀመርታ ባዕልኹም ፈትኑ። ነፍሲ ወከፍ መፍትሒ ተዓጺፉ ኣሎ፤ ምስ ተዳለኹም ክፈትዎ።
MartingaleሜላMartingaleድሕሪ ነፍሲ ወከፍ ስዕረት ውርርድ ዘዕጽፍ ስርዓት ምውሳኽ ውርርድ። እንታይ ከም ዝገብርን ዘይገብርን ኣብ ክፍሊ ሜላታት ርኣዩ።ምሉኡ ኣንብቡ → ኣብ ቀይሕውርርድቀይሕውርርድ ማዕረ ገንዘብ ኣብቶም 18 ቀይሕ ቁጽርታት። ብፈረንሳይኛ፥ rouge።ምሉኡ ኣንብቡ → ብ $100 ይጅምር፣ ኣብ ነፍሲ ወከፍ ዑደት ድማ ብዝበዝሐ n ውርርዳት ንገዛእ ርእሱ የፍቅድ፥ ድሕሪ n ተኸታታሊ ክሳራታት የቋርጽ እንደገና ድማ ይጅምር። ማእከላይ ውጽኢት ናይ ሓደ ዑደት ከም ቀመር ብ n ጽሓፍዎ፣ ኣብ መንኮርኮር ኤውሮጳ ን 5፣ 6ን 7ን ውርርዳት ድማ ሕሰብዎ።
መፍትሒ ኣርእዩ
መልሲ እቲ ማእከላይ 100 × (1 − (38/37)ⁿ) እዩ፥ ን 5 ውርርዳት −$14.26፣ ን 6 −$17.35፣ ን 7 ድማ −$20.52። ዝበዝሑ ውርርዳት ምፍቃድ ነቲ ማእከላይ ዑደት የኽፍኦ እምበር ኣየመሓይሾን።
ዑደት ኩሎም n ውርርዳት እንተ ዘይተሰዒሮም $100 ይዕወት፣ እዚ ድማ ብተኽእሎ qⁿ ይኸውን፣ ኣብኡ q = 19/37። ኩሎም ምስ ተሰዓሩ፣ እቶም መጠናት ውርርድ 100፣ 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ ብድምር 100 × (2ⁿ − 1) ይኾኑ። ስለዚ እቲ ማእከላይ 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ) እዩ።
ኣብዚ 2q = 38/37፣ ካብ 1 ቁሩብ ዝበዝሐ፣ ስለዚ (2q)ⁿ ምስ n ይዓቢ እቲ ማእከላይ ድማ ይወድቕ፥ n = 5 1.1426ን −$14.26ን ይህብ፤ n = 6 1.1735ን −$17.35ን ይህብ፤ n = 7 1.2052ን −$20.52ን ይህብ። ዝነውሐ መሰላል ብዝወሓደ ግዜ ይኸስር፣ ኣብ 3.6%፣ 1.8%ን 0.9%ን ናይ ዑደታት፣ ነፍሲ ወከፍ ክሳራ ግን ዕጽፊ ይዓቢ፣ ኣብ ነፍሲ ወከፍ ዑደት ድማ ዝበዝሐ ገንዘብ ኣብ ጣውላ ይሓልፍ፣ ብ 2.70% ናይ ነፍሲ ወከፍ ውርርድ።
ኣብ መንኮርኮር ኣመሪካ 2q = 40/38 እዩ፣ እቶም ቁጽርታት ድማ −$29.24፣ −$36.04ን −$43.20ን እዮም (Taylor, 2021)። ኣብ ዜሮመንኮርኮርዜሮዝኾነ ውርርድ ማዕረ ገንዘብ፣ ደርዘን ወይ ዓምዲ ዘይሽፍኖ እቲ ሓደ ቀጠልያ ጁባ፤ ምንጪ ብልጫ ካዚኖ። ካልእ ስም፥ ሓደ ዜሮ፣ 0።ምሉኡ ኣንብቡ → ዘይብሉ ጸወታ 2q = 1፣ ነፍሲ ወከፍ ዑደት ድማ እቲ መሰላል ክንደይ ይንዋሕ ብልክዕ ማእከላይ ዜሮ ኣለዎ።
እቲ «Grand Martingale» ድሕሪ ክሳራ መጠን ውርርድ ዕጽፊ ይገብር ሓደ ኣሃዱገንዘብኣሃዱስርዓት ወይ ተጻዋታይ ዝሰርሓሉ መሰረታዊ መጠን ውርርድ። ስርዓታት ምውሳኽ ውርርድ ኣብ ዝኾነ ጣውላ ክሰርሑ ምእንቲ ብኣሃዱ ይግለጹ።ምሉኡ ኣንብቡ → ድማ ይውስኽ፣ ስለዚ መጠናት ውርርድ 1፣ 3፣ 7፣ 15፣ 31 … ይኸዱ። እቲ ቀዳማይ ዓወት ኣብ 1ይ፣ 2ይ፣ 3ይ ወይ kይ ውርርድ ምስ መጸ ክንደይ ኣብ ረብሓ ኣለኹም? ብኣሃዱ $10ን ዝለዓለ $500ን፣ ዑደት ክንደይ ግዜ ይሰብር፣ ሓደ ዑደት ድማ ብማእከላይ ክንደይ የኽፍል?
መፍትሒ ኣርእዩ
መልሲ ኣብ kይ ውርርድ ዓወት k ኣሃዱ ረብሓ የተርፈልኩም፥ +1፣ +2፣ +3 ወዘተ። ብ $10ን $500ን እቲ ዑደት ድሕሪ ሓሙሽተ ክሳራታት ይሰብር፣ 3.57% ናይ ዑደታት፣ ብ −$570። ብማእከላይ ሓደ ዑደት ካብ $85.73 ዝተወራረደ $2.32 የኽስር፥ 2.70%።
እቲ kይ መጠን ውርርድ 2ᵏ − 1 ኣሃዱ እዩ፥ 1፣ 3፣ 7፣ 15፣ 31። እቶም ቀዳሞት k − 1 መጠናት ውርርድ ብድምር 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1 እዮም። ኣብ kይ ውርርድ ዓወት 2ᵏ − 1 ይኸፍል፣ ስለዚ እቲ ዑደት (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k ኣሃዱ ረብሓ ኮይኑ ይዛዘም፥ ንነፍሲ ወከፍ ቅድሚ እቲ ዓወት ዝነበረ ክሳራ ሓደ ተወሳኺ ኣሃዱ።
ብ $10 ንሓደ ኣሃዱ እቶም መጠናት ውርርድ $10፣ $30፣ $70፣ $150ን $310ን እዮም፤ እቲ ዝቕጽል፣ $630፣ ካብቲ ዝለዓለ $500 ይበዝሕ። ተኸታታሊ ሓሙሽተ ክሳራታት፣ (19/37)⁵ = 3.57%፣ 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570 የኽፍሉ።
ማእከላይ፥ እቶም ዓወታት ን k = 1 ክሳብ 5 ብተኽእሎ (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 $10 × k የእትዉ፣ እቲ ምስባር ድማ ብተኽእሎ 3.57% $570 ይወስድ፤ ብሓባር −$2.32። ዝተወራረደ ገንዘብ ንነፍሲ ወከፍ ዑደት ብማእከላይ $85.73 እዩ፣ 2.32/85.73 = 2.70% ድማ። ልሙድ Martingale ኣብ ተመሳሳሊ ጣውላ ድሕሪ ሽዱሽተ ክሳራታት ይሰብር፣ 1.83% ናይ ዑደታት፣ ብ −$630፣ ካብ $64.20 ዝተወራረደ ድማ $1.74 የኽስር፥ እንደገና 2.70%።
ሓደ ተጻዋታይ ኣብ ቀይሕ ብቀዳማይ ውርርድ $1 ኣብ ደረት $1,000 ዘለዎ ጣውላ Martingale ይሓስብ፣ ስለዚ ዓሰርተ ውርርዳት ይከኣሉ፥ $1፣ $2፣ $4 ወዘተ ክሳብ $512። ዑደት ክንደይ ግዜ ኩሎም ዓሰርተ የኽስር፣ እዚ ብማእከላይ ክንደይ ግዜ ይወስድ፣ ምሸት ናይ 200 ውርርዳት ድማ ክንደይ ግዜ ብኸምዚ ይዛዘም?
መፍትሒ ኣርእዩ
መልሲ ዑደት ካብ 784 ኣስታት ሓደ ግዜ ኩሎም ዓሰርተ የኽስር፣ እዚ ድማ $1,023 የኽፍል። እዚ ብማእከላይ ኣስታት 1,600 ውርርዳት እዩ፣ ምሸት ናይ 200 ውርርዳት ድማ ኣስታት ኣብ 11% ናይ ግዜ ምስቲ መንደቕ ይጋጮ። ዑደት ሕጂ'ውን ብማእከላይ ካብ $11.31 ዝተወራረደ $0.31 የኽስር፥ 2.70%።
ውርርድ ኣብ ቀይሕ ብተኽእሎ 19/37 ይስዕር፣ ዜሮ ሓዊሱ። ተኸታታሊ ዓሰርተ፥ (19/37)¹⁰ ≈ 0.00128፣ ኣስታት 1 ካብ 784። እቶም መጠናት ውርርድ 1 + 2 + 4 + … + 512 ብድምር $1,023 እዮም።
ዑደት ብማእከላይ 2.05 ውርርዳት ይወስድ፣ ስለዚ 784 ዑደታት ኣስታት 1,600 ውርርዳት ይወስዱ። ምዝዋር ብምዝዋር እንተ ተቖጺሩ፣ ተኸታታሊ ዓሰርተ ክሳራታት ኣብ 200 ውርርዳት ኣብ ዝኾነ ቦታ ኣብ 11.3% ናይ ግዜ ይመጽእ።
ኣብ መንጎ ዓበይቲ ክሳራታት እቲ ተጻዋታይ ንነፍሲ ወከፍ ዑደት $1 ይዕወት፥ ቅድሚ እቲ ሕማቕ ኣስታት $783፣ ድሕሪኡ −$1,023፣ ኣብ ምሉእ እቲ ግዜ ኣስታት −$240። ንነፍሲ ወከፍ ዑደት፥ 1 × (1 − 0.00128) − 1,023 × 0.00128 ≈ −$0.31። ንነፍሲ ወከፍ ዑደት ዝተወራረደ ገንዘብ፥ 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11.31። −0.31/11.31 = −2.70% ድማ።
ምስ ቀዳማይ ውርርድ $10 ኣብ ደረት $500 ኣነጻጽሩ፣ ሽዱሽተ ውርርዳት፥ እቲ መንደቕ ካብ 55 ዑደታት ሓደ ግዜ ይመጽእ፣ ምሸት ናይ 200 ውርርዳት ድማ ኣብ 84% ናይ ግዜ ይራኸቦ። ዝለዓለ ደረት ነቲ ውድቀት ዝሓጸረን ዝዓበየን ይገብሮ፣ ዝሓሰረ ግን ኣይኮነን።
ንምዝንጋዕ
ሳሕቲን ዝዓበየን፣ ኣብ ነፍሲ ወከፍ ደረት። እቲ ብዝሒ ቀዋሚ እዩ።
ምንጭታት
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.